Logaritmos

Logaritmos

Propiedades de logaritmos

Propiedad 1    AxB
Log a + log b

Ejemplos:

A   B  3x5
Log 5+ log 3
.6989+.4771
1.1760 ANT.
r= 14.996

(.7081) (3.14)
Log.7081+log3.14
-0.1499+.4969
.3470
r= 2.2223

Propiedad 2
A /B  log a-log b
20/5
1.3010-0.6989
0.6021 ANT.
r= 4

0.1523/0.4785
Log 0.1523-log 0.4785
-8173- (-0.3201)
-8173+0.3201
-0.4972 ANT.
r= 0.3182

35/4.173

Log35-log4.173
1.5440-0.6204
0.9236 ANT.
r=8.386

Ejercicios

Propiedad 1

1.-A b    8x2
log 8 + log 2
.9030+.3010
1.204 ANT.
r=16

2.-A b    
2x3
log 2 + log 3
.3010+0.4771
0.7781 ANT.
r=5.891035415

3.-A b    
 9x5
log 9 + log 5
0.542+0.6989
1.6531 ANT.
r=44.9883

4.-A b 
    8x4
log 8 + log 4
0.9030+0.6020
1.5050ANT.
r=31.9889

5.-A b  
   7x3
log 7 + log 3
0.8450+0.4771
1.3221 ANT.
r=20.99423238

6.-A b 
   2x3
log 2 + log 3
0.3010+04771
0.7781 ANT.
r=4.668049099

7.-A b  
   4x2
log 4 + log 2
0.6020+0.3010
0.9030 ANT.
r=7.9983

8.-A b   
  3x2
log 3 + log 2
0.4771+.3010
0.7781 ANT.
r=5.999

9.-A b
     6x4
log 6 + log 4
0.7781+0.6020
1.3801 ANT.
r=23.9938

10.-A b      
 8x7
log 8 + log 7
0.9030+0.8450
1.7480 ANT.
r=55.9757

Con decimales

11.- A b  
 1.12x3.14
log1.12+log3.14
0.0492+0.4969
0.5461  ANT.
r= 1.92031

12.- A b  
    3.4x8.9
log3.4+log8.9
0.5314+0.9493
1.4807 ANT.
r=30.2428

13.- A b
  .1416x 1.1213
log.1416+log1.1213
-0.848+0.497
-0.351 ANT.
r=30.2428

14.- A b
1.1612x2.1012
log1.1612+log2.1012
0.0649+0.3224
0.3873ANT.
r=2.100873

15.- A b
2.3x1.2
log2.3xlog1.2
0.3617+0.07918
0.44088 ANT.
r=2.7598

16.- A b
0.1218x1.1417
log0.1218xlog1.1417
-0.9143+0.0575
-0.8567 ANT.
r=0.1390

17.- A b
0.9412x1.1711=1.1020
log.9412+log1.1711
-0.0263+0.0685
0.0422 ANT
r=1.1020

18.- A b
8.942x1.213
log8.942+log1.213
0.9514+0.0838
0.0422 ANT
r=10.8442

19.- A b
0.2214x1.1703
log.2214xlog1.1703
-0.6548+0.0682
-0.5866 ANT.
r=0.2590

20.- A b
1.5x2.3
log 1.5+log2.3
0.1760+0.3617
0.5377 ANT.
r=3.4490

Logaritmos

Propiedad 2

A/B
Log A -log B

1.- 22/17=1.2941log 22- log 17
1.3424-1.2304
-0.1119 ANT.
r=0.7728

2.- 4/3Log 4-log3
0.6020-0.4771
0.1249 ANT.
r=1.33

3.- 12/4Log 12-log 4
1.079-.6020
0.477 ANT.
r=2.999

4.- 42/8 =5.25log 42-log8
1.6232-0.9030
0.7202
r=5.2504

5.- 8/2 =4Log8-log2
0.9030-0.3010
0.602 ANT.
r=2.407

6.-9/8 =1.125log 9 – log 8
0.9542-0.9030
0.0512 ANT.
r=1.125

7.- 18/8 =2.25log 18-log8
1.2550.9030
0.352 ANT.
r=2.2490

8.- 20/4 =5log 20 – log 4
1.3010-0.6020
0.699ANT.
r=5

 9.- 42/7 = 6log 42-log 7
1.6232-0.8450
0.7782 ANT.
r=6

10.- 91/9=10.11log 91-log 9
1.9590-0.9542
1.0048 ANT.
r=10.11

Punto decimal

1.- 1.1213/.1412 = 7.9412log 1.1213-log.1412
0.0497-(-0.8501)
0.0497+0.8501
0.89981 ANT.
r=7.9398

2.- 3.1416/2.1811= 1.4403log 3.1416-log 2.1811
0.4971-0.3386
0.1585 ANT.
r=1.4404

3.- 8.1223/7.1204=1.1407log 8.1223-log 71204
0.9096-0.8525
0.0571 ANT.
r=1.1405

4.- 9.8312/1.2124 = 8.10887log 9.8312-log 1.2124
0.9926-0.0836
0.909 ANT.
r=8.108

5.- 14.1215/7.8523 =1.7983log 14.1215-log 7.8523
1.1498-0.8949
0.2549
r=1.7984

6.- 24.7784/12.1113 = 2.0458log 24.7784-log 12.1113
1.3940-1.0831
0.3109 ANT.
r=2.0458

7.- 30.8407/7.1218 = 4.33log 30.8407-log 7.1218
1.4891-0.8525
0.6366 ANT.
r=4.33

8.- 40.3238/11.15040=3.6163log 40.3238-log11.1504
1.6055-1.0472
0.5583 ANT.
r=3.6165

9.- 32.12/15.11 = 2.125744log 32.12-log15.11
1.5067-1.1792
0.3275 ANT.
r=2.1256

10.- 35.1817/8.1112 =4.3374log 35.1817-log 8.1112
1.5463-0.9090
0.6373 ANT.
r=4.3381

Enteros y punto decimal

1.- 44/1.5= 29.33log 44-log1.5
1.6434-0.1760
1.4674
r=29.33

2.- 55/8.9 =6.1797log 55-log8.9
1.74-0.94
0.8 ANT.
r=6.30

3.- 48/3.12 =15.3846log 48- log 3.12
1.6812-0.4941
1.1871 ANT.
r=15.3850

4.- 453/12.3=36.8292log 453-log12.3
2.6560-1.0899
1.5661 ANT.
r=36.8213

5.- 85/3.175 = 26.7716

Log 85-log3.175
1.9294-0.5017
1.4277 ANT.
r=26.7731

6.-49/3.121= 15.7000log49-log3.121
1.6901-0.4942
1.1959 ANT.
r=15.7000

7.- 98/8.123 = 12.0645log 98-log8.123
1.9912-0.9097
1.0815
r=12.0642

8.- 32/1.25=25.60log32-log1.25
1.5051-0.0969
r=25.59

9.-53/9.82= 5.3971log 53 - log 9.82
1.7242-0.9921
0.7321
r=5.3963

10.-47/3.141 =14.9633log47-log3.141
1.6720-0.4970
1.175 ANT.r=14.9623

Investigación

¿Qué es una función?

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el Codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del Codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el Codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Dominio: En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

Codominio: En matemáticas, el Codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función.




2.- ¿Tipos de funciones?

Clasificación de funcionesFunciones algebraica
Funciones explicitas
funciones implícitas

Funciones polinómicas
Funciones constantes
Función polinómicas de primer grado
función de afín
función lineal
función identidad
función a trozos
funciones en valor absoluto
funciones parte entera de x
función mantisa
función signo

Funciones racionales
funciones radicales


Funciones trascendente
Función exponencial
funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Función seno
función coseno
función tangente
función cosecante
función secante
función cotangente



3.-¿ Qué es un logaritmo?

En matemáticas, el logaritmo de un número –en una base determinada– es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número resultante y una base de potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado resultado. Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Propiedades de la función logarítmica

1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
2. ln(x) es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
3. Tiene límites infinitos en y en .
4. La tangente T_e que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
5. La tangente T₁ que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x − 1.
6. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r", es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T₁ y T_e.

    7.-La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial

Aplicaciones de logaritmos

·         En el cálculo de crecimiento de poblaciones o en el de la temperatura de un cuerpo.

·         En ingeniería se usaban para simplificar cálculos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080617022001AATtIFL

Ejercicios de destreza

Ejercicios de destreza

1.- La bicicleta de Fer tiene ruedas con diámetro de 50 cm.Fer quiere visitar a Ceci que vive a 2 km de su casa y quiere saber cuantas vueltas dará su bicicleta para llegar a la casa de Ceci. ¿Cómo puede calcularlo?

Perímetro

P=∏xd
p=3.1416x.50
p=1.5708

100,000x2=200,000

200,000÷1.5708=127323.6567

Total de vueltas
127323.6567

2.-Alfredo desea saber cuál es la ecuación de la trayectoria de un caballo  que se encuentra amarrado a una estaca por una cuerda de 2m cuando la cuerda esta completamente tensa y suponiendo que el origen se encuentra en la estaca. Muéstrale  a Alfredo el procedimiento para calcular lo anterior.

C(0,0)
x²+y²=r²
(x-h)²+(y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=r²
x²+y²=r²

3.- A) Obtención de la ecuación conociendo el radio.

Una circunferencia con centro en ele origen y radio r, se puede expresar matemáticamente por:

X²+y²=r²

X²+y²=4²

X²+y²=7²

X²+y²=1.5²

X²+y²=1.5²

X²+y²=9.5²

Calcula el radio de las siguientes circunferencias:

X²+y²=16
X²+y²=√16
X²+y²=4

X²=9-y²
X²+y²=√9
X²+y²=3

X²+y²=12
X²+y²=√12
X²+y²=3.4

X²+y²=1/4
X²+y²=√1/4
X²+y²=1.25

X²+y²=4/9
X²+y²=√4/9
X²+y²=2/3

Ejercicios de aplicación

1.- El radar de un avión registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro del ciclón esta en C (0,0) y cada anillo concéntrico de la imagen del radar tiene una unidad de ancho, determina la ecuación de la tercera circunferencia que encierra la mayor parte de ciclón.

(x-h)²+(y-k)²
(x-0)²+(y-0)²=3

X²+y²=3
x²+y²=√3
x²+y²=1.7

2.- Alejandra lanza una piedra a un lago las ondas que se originan tienen forma circular. Si el punto donde cayó la piedra es el origen de un sistema de coordenadas y la onda se aleja 3 unidades en cada segundo, ¿Cuál es la ecuación de la onda después de 3 segundos?

C (0,0)
(x-h)²+(y-k)²
(x-0)²+(y-0)²

X²+y²=9
x²+y²=√9
x²+y²=3

3.- Axel es campesino para regar su siembra usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando hasta un diámetro de 8 unidades. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, halla la ecuación de la circunferencia que describe el rocío de riego.

C (0,0)

X²+y²=4
x²+y²=√4
x²+y²=2

Circunferencia con centro fuera del origen.

Alberto se subió en la feria a un juego mecánico que se asemeja al siguiente:

Si coloca el origen del sistema de diferencia en el centro de la rueda más grande, él quiere saber.

1.- ¿Cuál es la ecuación de cada una de las ruedas menores en la posición mostrada?

Azul

(4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x-4)²+ (y-0)²=1²

X²-8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

Amarillo

(0,4) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x-0)²+ (y-4)²=1²

X²+y²-8y+16=0
X²+y²-8y+16=1

Verde

(-4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x+4)²+ (y-0)²=1²

X²+8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

Naranja

(-4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x+4)²+ (y-0)²=1²

X²+8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

 2.- ¿Calcula cuál es el área  y perímetro de todas las circunferencias?

Azul

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Amarillo

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Verde

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Naranja

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Rueda grande

Área

∏.r²
3.1416x2
6.2832
Perímetro
∏xd
3.1416x4
12.5664

Obtención de la ecuación de la circunferencia y su gráfica en su forma ordinaria para los centros y radios dados:

1.- C (4,2)

(x-h)²+(y-k)²
(x+4)²+(y-2)²=3²
(x+4)²+(y-2)²=9

X²+8x+16-y²-4y-4=9
x²+y²+8x-4y-16+4=0
x²+y²+8x-4y+12=0

2.- C (-6,8) r=1/2=.5

(x-h)²+ (y-k)²
(x+6)²+ (y-8)²=.5²
(x+6)²+ (y-8)²=2.5

X²+12x+36+y²-16y-64=2.5
x²+y²+12x-16y+36+64=0
x²+y²+12x-6y+56=0

3.- C (3,-3)

(x-h)²+ (y-k)²
(x-3)²+ (y+3)²=.36²

X²+6x+9-y²+6y-=0
x²+y²-6x+6y+18=3/5

4.- C(-4,-5)   r=√3/5

(x+4)²+ (y+5)²
x²+8x+16+y²+16y+25=√3/25

5.- C (-6,9) = 2/√2=2

(X+6)²+ (y-9)²

x²+12x+36+y²-18y+8=2/√2