Investigación

¿Qué es una función?

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el Codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del Codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el Codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Dominio: En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

Codominio: En matemáticas, el Codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función.




2.- ¿Tipos de funciones?

Clasificación de funcionesFunciones algebraica
Funciones explicitas
funciones implícitas

Funciones polinómicas
Funciones constantes
Función polinómicas de primer grado
función de afín
función lineal
función identidad
función a trozos
funciones en valor absoluto
funciones parte entera de x
función mantisa
función signo

Funciones racionales
funciones radicales


Funciones trascendente
Función exponencial
funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Función seno
función coseno
función tangente
función cosecante
función secante
función cotangente



3.-¿ Qué es un logaritmo?

En matemáticas, el logaritmo de un número –en una base determinada– es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número resultante y una base de potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado resultado. Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Propiedades de la función logarítmica

1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
2. ln(x) es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
3. Tiene límites infinitos en y en .
4. La tangente T_e que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
5. La tangente T₁ que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x − 1.
6. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r", es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T₁ y T_e.

    7.-La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial

Aplicaciones de logaritmos

·         En el cálculo de crecimiento de poblaciones o en el de la temperatura de un cuerpo.

·         En ingeniería se usaban para simplificar cálculos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080617022001AATtIFL

Ejercicios de destreza

Ejercicios de destreza

1.- La bicicleta de Fer tiene ruedas con diámetro de 50 cm.Fer quiere visitar a Ceci que vive a 2 km de su casa y quiere saber cuantas vueltas dará su bicicleta para llegar a la casa de Ceci. ¿Cómo puede calcularlo?

Perímetro

P=∏xd
p=3.1416x.50
p=1.5708

100,000x2=200,000

200,000÷1.5708=127323.6567

Total de vueltas
127323.6567

2.-Alfredo desea saber cuál es la ecuación de la trayectoria de un caballo  que se encuentra amarrado a una estaca por una cuerda de 2m cuando la cuerda esta completamente tensa y suponiendo que el origen se encuentra en la estaca. Muéstrale  a Alfredo el procedimiento para calcular lo anterior.

C(0,0)
x²+y²=r²
(x-h)²+(y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=r²
x²+y²=r²

3.- A) Obtención de la ecuación conociendo el radio.

Una circunferencia con centro en ele origen y radio r, se puede expresar matemáticamente por:

X²+y²=r²

X²+y²=4²

X²+y²=7²

X²+y²=1.5²

X²+y²=1.5²

X²+y²=9.5²

Calcula el radio de las siguientes circunferencias:

X²+y²=16
X²+y²=√16
X²+y²=4

X²=9-y²
X²+y²=√9
X²+y²=3

X²+y²=12
X²+y²=√12
X²+y²=3.4

X²+y²=1/4
X²+y²=√1/4
X²+y²=1.25

X²+y²=4/9
X²+y²=√4/9
X²+y²=2/3

Ejercicios de aplicación

1.- El radar de un avión registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro del ciclón esta en C (0,0) y cada anillo concéntrico de la imagen del radar tiene una unidad de ancho, determina la ecuación de la tercera circunferencia que encierra la mayor parte de ciclón.

(x-h)²+(y-k)²
(x-0)²+(y-0)²=3

X²+y²=3
x²+y²=√3
x²+y²=1.7

2.- Alejandra lanza una piedra a un lago las ondas que se originan tienen forma circular. Si el punto donde cayó la piedra es el origen de un sistema de coordenadas y la onda se aleja 3 unidades en cada segundo, ¿Cuál es la ecuación de la onda después de 3 segundos?

C (0,0)
(x-h)²+(y-k)²
(x-0)²+(y-0)²

X²+y²=9
x²+y²=√9
x²+y²=3

3.- Axel es campesino para regar su siembra usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando hasta un diámetro de 8 unidades. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, halla la ecuación de la circunferencia que describe el rocío de riego.

C (0,0)

X²+y²=4
x²+y²=√4
x²+y²=2

Circunferencia con centro fuera del origen.

Alberto se subió en la feria a un juego mecánico que se asemeja al siguiente:

Si coloca el origen del sistema de diferencia en el centro de la rueda más grande, él quiere saber.

1.- ¿Cuál es la ecuación de cada una de las ruedas menores en la posición mostrada?

Azul

(4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x-4)²+ (y-0)²=1²

X²-8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

Amarillo

(0,4) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x-0)²+ (y-4)²=1²

X²+y²-8y+16=0
X²+y²-8y+16=1

Verde

(-4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x+4)²+ (y-0)²=1²

X²+8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

Naranja

(-4,0) r=1²

(x-h)²+(x-k)²=r²
(x+4)²+ (y-0)²=1²

X²+8x+16+y²-1y-1=0
X²+y²-8x+16y=1

 2.- ¿Calcula cuál es el área  y perímetro de todas las circunferencias?

Azul

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Amarillo

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Verde

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Naranja

Área
∏.r²
3.1416x1
3.1416
Perímetro
∏xd
3.1416x2
6.2832

Rueda grande

Área

∏.r²
3.1416x2
6.2832
Perímetro
∏xd
3.1416x4
12.5664

Obtención de la ecuación de la circunferencia y su gráfica en su forma ordinaria para los centros y radios dados:

1.- C (4,2)

(x-h)²+(y-k)²
(x+4)²+(y-2)²=3²
(x+4)²+(y-2)²=9

X²+8x+16-y²-4y-4=9
x²+y²+8x-4y-16+4=0
x²+y²+8x-4y+12=0

2.- C (-6,8) r=1/2=.5

(x-h)²+ (y-k)²
(x+6)²+ (y-8)²=.5²
(x+6)²+ (y-8)²=2.5

X²+12x+36+y²-16y-64=2.5
x²+y²+12x-16y+36+64=0
x²+y²+12x-6y+56=0

3.- C (3,-3)

(x-h)²+ (y-k)²
(x-3)²+ (y+3)²=.36²

X²+6x+9-y²+6y-=0
x²+y²-6x+6y+18=3/5

4.- C(-4,-5)   r=√3/5

(x+4)²+ (y+5)²
x²+8x+16+y²+16y+25=√3/25

5.- C (-6,9) = 2/√2=2

(X+6)²+ (y-9)²

x²+12x+36+y²-18y+8=2/√2

Áreas y Perímetros

Traza un plano cartesiano con regla y compás las circunferencias que pasan por los puntos no alineados.

1.-A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)
Área
∏.r²
3.1416x4.34
15.205344

Perímetro
∏xD
3.1416x4.4
13.820304

2.- A (5,1)
B (2,-1)
C (3,-2)

Área
∏.r²
3.1416x1.3²
5.309304

Perímetro
∏xd
3.1416x2.6
8.16816

3.- A (-2,-3)
B (-4,-5)
C (1,-4)

Área
∏.r²
3.1416x2²
12.5664

Perímetro
∏xd
3.1416x4
12.5664

4.- A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)

Área
∏.r²
3.1416x2.1
13.85

Perímetro
∏xD
3.1416x4.2
13.19

Encuentra el área y el perímetro de las siguientes figuras:

1.- C (4,5) r=4

Área

∏.r²
3.1416x4²
50.2656

Perímetro

∏xD
3.1416x8
25.1328

2.-Centro (3,-2) r=5

Área

∏.r²
3.1416x5²
78.54

Perímetro

∏xD
3.1416x10
31.416

3.- C (0,-1)

Área

∏.r²
3.1416x2²
12.5664

Perímetro

∏xD
3.1416x4
12.5664

4.- Centro (-3,0) r=1

Área

∏.r²
3.1416x1
3.1416

Perímetro

∏xD
3.1416x2
6.2832

5.- Centro (-3,0) r=1

Área

∏.r²
3.1416x3²
28.2744

Perímetro

∏xD
3.1416x6
18.8496

6.- (-3/4,-2) r=6

Área

113.0976

Perímetro

37.6992

7.- Centro (-4,-2) r=2

Área

∏.r²
3.1416x2²
12.5664

Perímetro

∏xD
3.1416x4
12.5664

8.- Centro (5,1) r= ½

Área

∏.r²
.7854

Perímetro

∏xd
3.1416

9.- Centro (2,1) r=√5

10.- Centro (-1/4,7/5) r=7

De manera geométrica encuentra el centro de cada una de las siguientes circunferencias y márcalo con rojo. También identifica el radio y trázalo con azul.

1.- X²+y²-4=0
X²+y²=4
X²+y²= 2²







2.- X²+y²-16=0
X²+y²=16
X²+y²=4²







3.- X²+y²-4x-2y-1=0

X²-4x y²-2y
(x-2)²+ (y-1)²
X²-4x-4-y²-2y-1=0
X²+y²-4x-2y+5=4
Centro= (2,1) Radio =4







4.- X²+y²-3=0
X²+y²=3
X²+y²=√3








5.- X²+y²+6x-8y+18=0

X²+6x y²-8y
(x+3)² + (y-4)²
x²+6x+9+y²-8y+16=0
x²+y²-6x-8y+25=9






6.- X²+y²-6x-1=0

X²-6x y²-0y
(x-3)²+ (y-0)²
x²-6x+9+y²+0y+0=0
x²+y²-6x+0y+9=8
Centro= (3,0) radio=8





7.- X²+y²-4y-1=0

X²+0x y²-4y
(x-0)²+ (y-2)²
x²+0x+0+y²+4y+4=0
x²+y²+0x-4y+4=3
Centro= (-0,2) radio=3






8.- X²+y²-7=0
X²+y²=7
X²+y²=√7=2.6






9.- X²+y²-8=0
X²+y²=8X²+y²=√8=2.8






10.- X²+y²-10=0
X²+y²=10
X²+y²=√10=3.1















Traza el plano cartesiano con regla y compás las circunferencias que pasan por los puntos no alineados.


1.-A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)








2.- A (5,1)
B (2,-1)
C (3,-2)








3.- A (-2,-3)
B (-4,-5)
C (1,-4)




4.- A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)

5.- A (5,3)
B (-3,-1)
C (5,3)