De manera geométrica encuentra el centro de cada una de las siguientes circunferencias y márcalo con rojo. También identifica el radio y trázalo con azul.

1.- X²+y²-4=0
X²+y²=4
X²+y²= 2²







2.- X²+y²-16=0
X²+y²=16
X²+y²=4²







3.- X²+y²-4x-2y-1=0

X²-4x y²-2y
(x-2)²+ (y-1)²
X²-4x-4-y²-2y-1=0
X²+y²-4x-2y+5=4
Centro= (2,1) Radio =4







4.- X²+y²-3=0
X²+y²=3
X²+y²=√3








5.- X²+y²+6x-8y+18=0

X²+6x y²-8y
(x+3)² + (y-4)²
x²+6x+9+y²-8y+16=0
x²+y²-6x-8y+25=9






6.- X²+y²-6x-1=0

X²-6x y²-0y
(x-3)²+ (y-0)²
x²-6x+9+y²+0y+0=0
x²+y²-6x+0y+9=8
Centro= (3,0) radio=8





7.- X²+y²-4y-1=0

X²+0x y²-4y
(x-0)²+ (y-2)²
x²+0x+0+y²+4y+4=0
x²+y²+0x-4y+4=3
Centro= (-0,2) radio=3






8.- X²+y²-7=0
X²+y²=7
X²+y²=√7=2.6






9.- X²+y²-8=0
X²+y²=8X²+y²=√8=2.8






10.- X²+y²-10=0
X²+y²=10
X²+y²=√10=3.1















Traza el plano cartesiano con regla y compás las circunferencias que pasan por los puntos no alineados.


1.-A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)








2.- A (5,1)
B (2,-1)
C (3,-2)








3.- A (-2,-3)
B (-4,-5)
C (1,-4)




4.- A (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)

5.- A (5,3)
B (-3,-1)
C (5,3)

Ecuación de la circunferencia

Traza las siguientes circunferencias y encuentra su ecuación en su forma general y ordinaria.

1.- C (4,5) r=4

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-4)²+ (y-5)²=4²
(x-4)²+ (y-5)²=16
General
X²-8x+16+y²-10y+25=16
x²-y²-8x-10y-41-10=0
x²-y²-8x-10y-51=0





2.-Centro (3,-2) r=5

Ordinario
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-3)²+ (y+2)²=5²
(x-3)²+ (y+2)²=25
General
X²-6x-9+y²-4y+4=25
x²-y²-6x-4y+13+25=0
x²-y²-6x+4y+38=0






3.- Centro (0,-1) radio=2

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+ (y+1)²=2²
(x-0)²+ (y+1)²=4
General
X²-0x+0+y²+1y+1=4
x²-y²+0x+1y-1+4=0
x²-y²+0x+1y-5=0






4.- Centro (-3,0) r=1

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3)²+ (y-0)²=1²
(x+3)²+ (y-0)²=1
General
X²+6x+9+y²-0y+0=1
x²+y²+6x+9-0=0
x²+y²+6x-9=0





5.- Centro (-3,0) r=1

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+1)²+ (y+2)²=3²
(x+1)²+ (y+2)²=9
General
X²+2x+1+y²+4y+4=9
x²+y²+2x+4y+1+4=0
x²+y²+2x+4y+5=0




6.- (-3/4,-2) r=6

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3/4)²+ (y+2)²=6²
(x+3/4)²+ (y+2)²=36
General
X²+2x+6/4x+4y+73/16-36/1=0
x²+y²+6/4x+4y+503/16=0
9/16+4/1+9+64/16 = 73/16-36/1=73+57/16=-503/16
73-576/16= 503/6




7.- Centro (-4,-2) r=2

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+4)²+ (y+2)²=2²
(x+4)²+ (y+2)²=4
General
X²+8x+16+y²+4y+4=4
x²+y²+8x+4y+16+4=0
x²+y²+8x+4y+20=0










De manera geométrica encuentra las intersecciones entre las siguientes curvas. Clasifícalas además como secantes, tangente o ajenas:


1.-x²+y²-100=0
x²+y²-100=0
x²+y²=100
x²+y²=10²






2.- x²+y²-36=0 con ¾x+-3=0
X²+y²-36=0
X²+y²=36
X²+y²=6²
Formula
X=- C/A Y= - C/A
x= - -3/1.5=2 y= - -3/1=3





3.- x²+y²-25=0
X²+y²-325=0
X²+y²=25
X²+y²=5²
Formula
X=- C/A Y= - C/A
x= - -4/2=2 y= - -4/1=4






4.- x²+y²-8x+6y=0 Con x-y+4=0

X²-8x y²+6y
(x-4)²+ (y+3)²
Centro= (4,-1)
X²+y²-8x+6y+9=0
x²+y²-8x+6y+25=9
Radio= 3

Formula
X=- C/A Y= - C/A
x= - 4/1 =-4 y= - 4/-1= 4






5.- x²+y²+6x-4y+9=0 Con y=0

X² + 6x y²-4y
(x+3)² + (y-2)²
X²+6x+9+y²-4y+4=0
x²+y²+6x-4y+13=4
Centro = (-3,2)
Radio= 2
Formula
x= - C/A Y= - C/B







6.- x²+y²+4x-8y+4=0 Con y=0

(x-h)² + (y-k)²=r²
x²+4x y²-8y
(x+2)² + (y-4)²
X²+4x+4+y²-8y+4=0
x²+y²+4x-8y+8=4

Formula
X=- C/A Y= - C/B
x= - -2/3=.66 y= --2/-1= -2
Centro= (-4,2)
Radio=2






7.- 2x²+2y²+8x-16y+8=0 Con x-y+2=0

X²+2x y²+2y
(x+1)² + (y+1)²
x²+2x+1+2y+1=0
x²+y²+2x+2y+2=1
Centro= (-1,-1)
Radio= 1
X= - C/A Y= - C/B
X=-2/1=-2 Y= - 2/-1= 2







8.- X²+Y²-8X-8Y+28=0 Con X+Y-1=0

X²-8x y²-8y
(x-4)² + (y-4)²
x²-8x-16-8y-16=0
x²+y²-8x-8y-32=16
Centro= (4,4)
Radio= 4
X= - C/A Y= - C/B
X=- -1/1=-1 Y= - -1/-1= 2






9.- X²+Y²+6x-4Y+4=0 Con X+Y-1=0

X²-6x y²-4y
(x-3)² + (y-2)²
x²+6x+9+y²-4y-4=0
x²+y²+6x-5=16
Centro= (-3,2)
Radio= 2
X= - C/A Y= - C/B
X=- -1/1= 1 Y= - -1/-1= 1





10.- X²+Y²+6x-6Y+9=0 Con X=0

X²+6x y²+6y
(x+3)² + (y+3)²
x²+6x+9+y²+6y+9=0
x²+y²+6x+6y+18=9
Centro= (-3,3)
Radio= 3

Ecuación de la circunferencia

1.-Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro (5,2) y radio=6 en su forma ordinaria y general.

Ordinaria
(x-h)² + (y-k)²=r²
x-h)²+(y-k)²=r²
(x-5)²+(y-2)²=6²
(x-5)²+(y-2)²=36

General
x²-10x+25+y²-4y+4=36
x²+y²-10x-4y+29-36=0
x²+y²-10x-4y-7=0






2.- Centro (-3,-6) radio=5

Ordinaria
(x-h)² + (y-k) ²=r²
(x+3)²+ (y+6) ²=5²
(x+3) ² + (y+6) ²=25

General
x²+6x+9+y²+12y+36=25
x²+y²+6x+12y+45-25=0
x²+y²+6x+12y+20=0






3.- Centro (5,5) radio=2

Ordinaria
(x-h)² + (y-k)=r²
(x-5)² + (y-5)²=2²
(x-5)² + (y-5)²=4

General
x²-10x-25+y²-10y-25=4
x²+y²-10x-10y-50-4=0
x²+y²-10x-10y-46=0






4.- Centro (3,-2) radio=4

Ordinaria
(x-h)² + (y-k) ² =r²
(x-3)² + (y+2) ²=4²
(x-3)² + (y+2) ²=16

General
X²+6x+9+y²+4y+4=16
x²+y²+6x+4y+13-16=0
x²+y²+6x+4y+3=0




5.- Centro (-2,-7) radio=10

Ordinaria
(x-h)² + (y-k) ²=r²
(x+2)² + (y+7) ²=10²
(x+2)² + (y+7) ²=100

General
x²+4x+4+y²-14y+49=100
x²+y²-4x-14y+53-100=0
x²+y²-4x-14y-47=0









6.- Centro (-5,-8) radio=2

Ordinaria
(x-h)² + (y-k)²=r²
(x+5)²+ (y+8)²=2²
(x+5)²+ (y+8)²=4

General
X²+10x+25+y²+16y+64=4
x²+y²+10x+16y+89-4=0
x²+y²+10x+16y+85=0









7.-Centro (-2,6) radio=3

Ordinaria
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+2)²+ (y-6)²=3²
(x+2)²+ (y-6)²=9

General
X²+4x+4+y²-12y+36=9
x²+y²+4x-12y+40-9=0
x²+y²+4x-12y+31=0








8.- Centro (2,0) radio=4

Ordinaria
(x-h)² + (y-k)²=r²
(x-2)² + (y-0)²=4²
(x2)² + (y-0)²=16

General
X²-4x+4+y²-y+0=16
x²+y²-4x-y+4-16=0
x²+y²-4x-y-12=0

CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA

La Circunferencia es el conjunto de puntos de un plano. Que equidistan de un punto, fijo en el plano, llamado centro; la distancia de este a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
Sea C (h, k) el centro de la circunferencia de radio r, en que r, representa un número real positivo.
Un punto P (x,y) pertenece a la circunferencia si, y sólo si, su distancia a C (h,k) es igual a r; en otras palabras, la circunferencia de centro c (h,k) y radio r, es la gráfica de la relación.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia
El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

CUERDA
La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

DIÁMETRO
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

ARCO
Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

SEMICIRCUNFERENCIA

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
La longitud de una circunferencia es igual a pi. Por el diámetro. La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi. Por el radio.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

ÁNGULO INSCRITO
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

ÁNGULO SEMIINSCRITO
El vértice de ángulo semi inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

ÁNGULO INTERIOR
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

ÁNGULO EXTERIOR
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

RECTA SECANTE
La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
RECTA TANGENTE
La recta corta a la circunferencia en un punto.
RECTA EXTERIOR
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.



Ángulo central





Ángulo inscrito





Ángulo semi inscrito






Ángulo Interior






Ángulo exterior






REFERENCIAS

Geometría Analítica Bidimensional
Subconjunto del plano.
Howard E. Taylos
Thomas y Wade.
Libro: LIMUSA

http://www.buenastareas.com/ensayos/Circunferencia/1346824.html

CIRCUNFERENCIA